【文章连载】数学王子高斯的成长故事（第二章）
数学王子高斯的成长故事
作者 | 天空之城
我无意鼓动你成为科学家，我唯一的愿望是邀请你饶有兴致地进行一次小小的心灵之旅！
献给我的父母
也献给大宝、圆宝和欢宝
第二章
St. Katharines 学校：幸运的机会
整个算术和计算都要用到数。
是的......
因此这就是我们所追求的那种学问，它有双重用途——军事上的和哲学上的；因为打仗的人必须学习数的技巧，否则他就不知道如何布置他的部队，哲学家也要学，因为他必须跳出茫如大海的万变现象而抓住真正的实质，所以他必须是个算术家......因此这是可以在立法上适当规定的那种学问；而我们必须竭力奉劝我国未来的主人翁学习算术，不是象业余爱好者那样来学，而必须学到他们唯有靠心智才能认识数的性质那种程度......
——摘自Plato著《共和国》
St. Katharines 学校的传统
上一章我们提到高斯有无机会上学的问题。幸运的是，至少在Braunschweig 城镇，几乎所有男孩都被要求上小学获得读、写和算术的基本能力。在无法控制自己命运的情况下，高斯按时就读小学了。
高斯七岁就读St.Katharines 学校，与别的男孩年龄相当。这所学校主要是培养男孩们最基本的读、写和算术，以便通常大约十五岁毕业后可以发展生存的技能。这所学校的另外一个职能是发现和培养特殊的人才输送到更高级的Carolinum 学院。对于特别有天赋的神童，学校还会直接和Carolinum 学院的教授联系，并会报告Braunschweig 的最高管理者Ferdinand 公爵。
Ferdinand 公爵（1735－1806）接受过宽广的教育，曾游历荷兰、法国和现在德国范围内的很多地方。对高斯的长期支持大约是他最值得被后人记住的事情了。当拿破仑的军队扫荡欧洲时，Ferdinand 公爵在抵抗拿破仑军队的一场战斗中负伤去世。
特别有意思的是，Ferdinand 公爵建立了非常好的机制来发掘神童。对于报告来的神童，他还会亲自进行面试。一个很自然的问题是：如何鼓励学校发现、培养并报告神童呢？Ferdinand 公爵自有一套奖励的机制。如果你把神童报告过来，经过亲自面试通过后，除了Ferdinand 公爵出钱资助神童的进一步深造外，他还会指定教授来对神童加以特别训练，并且还会给教授额外的收入。这个被指定的教授通常就是发现神童的人。在这样一种机制下，你只要是真正的神童，不被发现都是不太可能的。因此Carolinum 学院的教授会和初等学校的老师保持密切的联系。和现代的学校一样，要去竞争好的生源。
Ferdinand 公爵本人接受过良好的教育，但是有良好的教育并不代表会好好管理他的封地。Ferdinand 公爵发现和培养人才的机制与当时的历史是有密切关系的。18世纪的欧洲本来就有很多个国家，而一些国家又割裂为一个个封地。Ferdinand 公爵就继承了Braunschweig 这块封地。不同封地之间人们可以相对自由地迁移、经商。作为封地的最高管理者，他得和别的封地竞争。这自然就导致了百家争鸣的局面。如果你去翻阅一些历史书的话，会发现在很多别的封地也出现了不少了不起的人物。
校长Büttner 先生的嗅觉
Büttner 先生是St.Katharines 学校的校长。在这个学校，他已经教了二十多年的数学。自从当了校长后，他就像一条猎犬，在耐心地嗅出那些有才气的小孩。当Büttner 拿着教鞭凶巴巴地在教室里看小孩们做算术作业时，他就在闻他们的才气。Büttner 的另外一个闻才气的办法就是出点稀奇古怪的题目，看看哪几个小孩有办法解决。大多数小孩都不值一提，有几个小孩会勾起他的兴趣。但是几年过去了，他又发现这几个小孩的天赋也就和自己当年差不多，或许这几个特别一点的小孩将来可以来接替自己上课，或者当自己的助手，就象那个有点幼稚的Bartels。
经过两年的学习后，高斯这一批小孩已经掌握了一点认字能力，可以加入Büttner 的数学课了。到目前为止，除了小时候高斯表现出来的算术天赋以及附近居民们对这样的天赋有些持怀疑态度的议论外，高斯似乎并没有表现出非常特别的东西。几乎没有人知道的是，在那些让高斯觉得无聊的课上，高斯会在脑海里自己给自己出算术题，然后再去心算出来。这样的数学游戏很可能高斯自己都不明白为何那样热衷。
经过看起来平淡的两年学习后，高斯终究会获得表现自己的机会，因为有一个人正急不可耐地等待他们这一批小孩送到跟前来好好闻闻才气。加入数学课后，Büttner 很快发现高斯心算非常快而准。这让Büttner 有点激动。可是如何看清高斯的真正天赋呢？Büttner 想了一个绝妙的办法。
有一次，小孩们在课上很吵，于是Büttner 趁机将那道后来将长久流传的从一连加到一百的题目写在黑板上。高斯几乎立即就把答案写了下来。［到底有没有出这道题人们有些怀疑，但是Büttner 通过特别的办法来考察高斯的数学才智的事情则一定发生过，而且多半不只一次。］
Büttner 对此当然很激动，但是显然还不到认为高斯就会成为数学王子的那个地步。而且数学至少在他看来不过是生存的技能，成为一个数学家当时在整个世界都不是很有吸引力的事情。另外，在这个学校里数学并不是最重要的，在其他方面还有别的小孩表现出其它的天分。对于Büttner 来说，他现在要做的是，给高斯创造一点条件，然后静观高斯的变化。
Büttner 先生做的四件事
Büttner 做的第一件事是特意从Hamburg 订了一本高级一些的算术书。18世纪的书可比现在昂贵多了，肯定没有要高斯出钱，而是学校或Büttner 本人出钱。结果高斯学得很好。于是Büttner 又做了几件事情。
Büttner 有一个助手叫Bartels。Bartels 比高斯大七岁多。作为助手，他的主要工作是帮那些太小的小孩准备笔和改改错别字之类。现在，Büttner 交给他的一项任务就是和高斯一起学数学。这是Büttner 为高斯做的第二件事。
第三件事则要困难一些。当时，小孩们晚上都得干活，其实也是一种锻炼。高斯晚上的主要任务是纺织亚麻布。Büttner 和Bartels 一起费了很大的力气才说服高斯那个极其倔强的父亲让高斯晚上学数学，而不是纺织亚麻布。校长对高斯的父亲说高斯是他从教二十年来最有数学天分的小孩。这样的评价总算让高斯的父亲很不情愿地答应了校长的建议。据说高斯知道晚上不必纺织亚麻布后，把纺纱的工具立即拿到后院去砍了当柴烧。还有一个故事，高斯为了晚上能够好好学习数学，自己利用脂肪和纱线制作了简陋的夜灯。
制作夜灯的故事常常被人们拿来说明高斯是多么了不起的神童。但是，我非常不赞同这一点。记得在我小时候的农村，几乎所有我认识的小孩们都会这种招式。不一定是自己发明的，可能也受到了家长的启发。对于高斯的童年时期，大人们晚上还要点灯干活的，高斯动手制作一个夜灯除了表明他痴迷数学外，我认为并没有任何别的特异之处。记得我小的时候，一些伙伴甚至能够用废弃的钢管造土枪，还真能把鸟打下来。这可比高斯造夜灯复杂多了，也更需要技巧和创意。
校长为高斯做的这三件事是非常重要的。没有这几件事，高斯不太可能成为伟大的数学家。这也给我们发现和培养人的启迪。这个校长还会为高斯做第四件事。我们后面会讲到。这四件事都完成后，高斯之所以能够成为高斯就是他自己可以能够控制的了。
高斯仍然得上校长的数学课，他显然不可能对校长有任何冒犯和不敬。那些校长讲的数学高斯早已完全掌握了。于是高斯在课堂上主要干两件事，一是学习更高级的数学书，更重要的一件事是坐在那里似乎什么也不干。为什么后一件事更重要呢？因为高斯通过这种方式在脑子里做计算，即所谓的心算。高斯对数学的痴迷导致他自己去掌握了复杂的心算。年老的高斯时常向别人愉快地唠叨他如何从小就可以在脑子里做复杂的数学计算。
这看起来是非常了不起的。其实在当时，纸张很贵，几乎任何人学数学都得高度依赖心算。其实你也可以做一个实验，如果你每天花一个小时在脑子中作加减乘除运算的话，坚持一年，你也可以掌握很复杂的心算。高斯单单小学时就花了很多年来锻炼心算。如果我们只看结果的话，当然觉得很神奇。可是如果你体会了高斯的成长过程的话，你就会发现长期对数学的痴迷，而不是上帝给的天赋起到了更重要的作用。这种心算其实比下盲棋更初级一些。有人曾告诉我，会下盲棋不是不可思议的，只要你有兴趣，经过锻炼都是可以达到的。但是要成为高水平的棋手，额外的一些品质更为重要。高斯也是如此，我们还将在后面一点点交待高斯的优秀品质。
关于心算，我们还可以开始一个小小的思维之旅。两三千年前的那些古代文明中，数学其实还是比较发达的，以至于文艺复兴时期人们花了好几百年才重新将那些古代文明的数学学会。特别奇怪的是，古代文明的那些数学家采用的数学符号很复杂，比如现在采用的是阿拉伯数字符号1、2、3、4之类，但是当时要复杂得多。我们知道古文明时纸张极为稀缺，笔也没有现在好，复杂的数学符号在书写时比阿拉伯数字符号费劲得多。这就带来一个徉谬：到底古文明的那些伟大科学家比一般的现代人聪明，还是比一般的现代人笨得多。估计没有人会认可后一点。但是，他们为什么发明不了简单得多的符号呢？很可能原因就是由于纸张稀缺。由于纸张稀缺，古文明的数学家都是用心算，而心算时采用更形象的符号会更方便一些。这是可以理解的，现代的心算和记忆术就是将抽象的东西形象化。同样由于纸张稀缺，他们也就没有必要采用两套符号，一套形象的复杂符号用于心算、一套简单抽象的符号用于在纸上推导，因为他们根本没有机会在纸上一步步推导。古文明的数学家写书时，也基本上只给问题和答案。通过这些分析，我们或许就可以部分理解古文明的数学家为什么采用复杂的数字符号了［这主要是作者的一点想法，你不必相信］。但是，当数学发展到一定程度时，纸张上的推导就很重要了。甚至于那些不擅长心算，但是很有思想的人也可以成为伟大的数学家。所以，后来人们通过简洁数学符号并由于纸张的大量和方便的使用，大大推进了数学的发展。甚至擅长心算的高斯后来也发明了一些数学符号，比如他第一个用符号i来表示虚数单位。
至少两千年前，巴比伦文化中以60为基底的数字符号。我们目前的基底通常为10。基底越大，计算难度越大。可以想象巴比伦人的心算能力是很强的。此图选自克莱因著《古今数学思想》
时机成熟时，Büttner 做了第四件事。他向Carolinum 学院的Zimmermann 教授推荐高斯。Zimmermann 曾经游历英格兰、法国和意大利，在Carolinum 学院讲授数学、物理和自然史。Zimmermann 在Carolinum 学院授课多年，有很高的地位。但是Büttner 联系Zimmermann 的更重要原因是Zimmermann 是Ferdinand 公爵的座上宾。1802年Zimmermann 还成了Ferdinand 公爵私人幕僚的一员。要为高斯提供研究数学的物质基础，非得Ferdinand 公爵的支持不可。不出所料，Zimmermann 见过高斯后向Ferdinand 公爵极力推荐。后来，Zimmermann 和高斯保持了终生的友谊。在介绍高斯给Zimmermann 这件事上，Bartels 也做了贡献。Bartels 家和Zimmermann 相交多年，因此Bartels 有很多机会向Zimmermann 推荐高斯。
当Büttner 做了这些事情后，能否走向成功就看高斯自己的表现了。Büttner 最早发现高斯并竭力为他创造条件。没有这样一段故事，没有人会去故纸堆里考证Büttner 干的事情。
两个数学伙伴：高斯和Bartels
在Büttner 的安排下，高斯和Bartels 一起学数学。他们之间最初是亦师亦友的关系，很快高斯学到的数学就和Bartels 一样多了。高斯和Bartels 一起学数学对他们两个都起到了至关重要的作用。有了这样一个要好的伙伴，高斯不必太过孤单，也可以忍受父亲对他痴迷于数学的恼怒，科学追求的梦想也在心里种下了。Bartels 在这段时期把数学作为了人生的理想，Bartels 后来果真成了数学教授。
德国数学家Bartels (1769-1836) 。Bartels 是高斯的朋友，还曾经是非欧几里德几何的创始人之一罗巴切夫斯基的老师。除了这两点外，似乎Bartels 没有对数学有特别的贡献。
值得指出的是，尽管高斯痴迷于数学，但是他还没有打算把一生奉献给数学。他比Bartels 小好几岁，因此这时他可以有梦想，但还上升不到理想的高度。高斯从小就有数学理想的说法是一个轻率的谎言。事实上，高斯要到哥廷根大学后才会决定将数学研究作为自己的理想和职业。痴迷和理想还是有区别的，痴迷是理想必不可少的基础，理想则要在很多条件成熟后才可以树立。
高斯和Bartels 之间的友谊伴随了一生。Bartels 对高斯数学学习的介入对高斯的成长是非常关键的。高斯对数学肯定有过人的天赋和不同寻常的痴迷。但是没有Bartels 和校长的帮助，高斯不太可能接触到更高级的数学书。对于高斯这样的家庭而言，他父亲是不太可能为他买在当时肯定极其昂贵的数学书的。记得上个世纪八十年代，在我的童年时代，小伙伴们都是很难有机会去书店买书的，而真正好的科普名著在县城的书店里几乎是没有的。就算是有钱，乡下的孩子们也几乎没有机会接触到好的科普著作。
仅仅局限于校长的数学课，高斯对数学的痴迷迟早会逐渐丧失，毕竟还有很多好玩的事情在不断诱惑童年的高斯，比如小孩们的游戏、对昆虫的观察之类。就算校长会特别给高斯几本高级一点的数学书，高斯也未必能够坚持学习，而我们也知道如果一本书看起来有些头痛的话，你是不太会保持长久的兴趣的。
当Bartels 介入后，情况就完全不一样了。Bartels 比高斯大七岁多，至少最开始时，他起到了老师的作用，知识也比高斯丰富得多。他们在一起学习数学时，讨论成为了掌握数学的润滑剂和推动力。这种机会对于任何时代、任何国家的小孩而言都是极其难得的。当然，也有一个弥补的办法，那就是家长和小孩一起学。比如，中国有些天才小孩，通常就是因为家长和他们一起学习成长起来的缘故。【当不时见到新闻里小学生的家长们和各路所谓的社会精英联合起来，通过各种途径，甚至让官方出台各种规定禁止学校创造机会让家长们和小朋友们一起学习成长时，我实在是觉得悲哀。这些所谓的社会精英们，在忽悠官方掠夺学校的这个教育学生的自由时，还是先好好自个学点数学，至少也去了解一点高斯的成长故事吧。】
高斯和Bartels 在一起学数学时，就像两个一起下棋的人，有了智力方面的伴侣。他们一起学习了很多有意思的数学，这方面的学习影响了高斯一生的志趣。大体上，他们学习了欧几里德的《几何原本》和欧拉写的代数方面的一点小册子。他们还一起思考了根式求解、无穷级数求和、二项式定理和欧几里德第五公设等。年老的高斯时常回忆这段美好的时光。Bartels 成为数学教授后，在培养人方面是很有才能的，非欧几里德的一个创始人罗巴切夫斯基就是他的学生。
有了Bartels 这样的智力对手，高斯的思维得到了极大的提升。或许高斯的另外一个幸运是，慢慢他发现Bartels 在数学方面的才智不如他，尤其是在心算方面。这使得高斯信心大增，对数学更有专研的劲头。他们两个就像在荒野里的两匹幼狼，最后更强的那头狼会成为领袖，往往也会得到更多的锻炼机会。我们都有这种经历，当几个人在一起成长时，最开始都差不多，但是更强一点的那个人一旦成为领袖后，就会考虑更多大局的东西。没过多久，就会比其他人要强大得多。无论是小孩玩游戏还是别的事情，往往都会这样。如果Bartels 比高斯更突出一些，高斯对数学的野心必然会大大削弱。后来，高斯到哥廷根大学，当他发现自己的数学才能比别的同学强时，才坚定了将科学追求作为自己的信念。
结语和展望
高斯的小学经历非常幸运，校长为他做了四件重要的事情。他与Bartels 一起学习了很多数学的基础知识。甚至Zimmermann 教授也愿意将高斯推荐给Ferdinand 公爵。离开St. Katharines 学校后能否进一步学习就完全取决于公爵是否愿意出钱支持，因为高斯的父亲是不可能有兴趣和实力去支持高斯的下一阶段学习的。那么童年高斯能否有这个机会呢？
● 量子力学简史--北京大学量子材料科学中心吴飙教授● 什么是量子？--北京大学量子材料科学中心吴飙教授
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